4. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Με δεδομένη τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x), μπορούμε να διαπιστώσουμε  τη μονοτονία της. Συγκεκριμένα αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα έχει γραφική παράσταση που «ανεβαίνει» καθώς το x μεγαλώνει, ενώ αν η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα έχει γραφική παράσταση που «κατεβαίνει» καθώς το x μεγαλώνει.

    Αν διατρέξουμε λοιπόν τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ώστε το x να μεγαλώνει, τότε αν το y = f(x) μεγαλώνει επίσης, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ενώ αν το y = f(x) μικραίνει, η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα.  

    Ως προς τα ακρότατα, το μέγιστο της συνάρτησης, εάν υπάρχει, θα είναι το υψηλότερο σημείο της γραφικής της παράστασης, ενώ το ελάχιστο, εάν υπάρχει, θα είναι το χαμηλότερο σημείο της.

Θεωρούμε τη συνάρτηση f (x) = 2x - 4 :

f[x_] := 2x - 4

    Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση σημείων της συνάρτησης σ’ ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων:

k = Plot[f[x], {x, -4, 5}, PlotStyle→ {RGBColor[0, 1, 0], Thickness[0.015]}, AspectRatio->1, PlotRange-> {{-4, 5}, {-11, 5}}]

[Graphics:../HTMLFiles/A Lyceum, Studying functions_168.gif]

-Graphics -

    Διατρέχουμε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ώστε το x να μεγαλώνει και παρατηρούμε αν το y = f(x) μεγαλώνει ή μικραίνει:  

[Graphics:../HTMLFiles/A Lyceum, Studying functions_186.gif]

    Δημιουργούμε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης:  

TableForm[Table[{x, f[x]}, {x, -3, 4, 0.5}], TableHeadings→ {None, {"x", "f(x)"}}, TableAlignments→Center, TableDirections->Row]

x -3 -2.5 -2. -1.5 -1. -0.5 0. 0.5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4.
f(x) -10 -9. -8. -7. -6. -5. -4. -3. -2. -1. 0. 1. 2. 3. 4.

    Τι συμπεράσματα μπορούμε να βγάλουμε για τη μονοτονία και τα ακρότατα της y = f(x);






    Θεωρούμε τη συνάρτηση g (x) = -3x + 2 :

g[x_] := -3 * x + 2

    Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση σημείων της συνάρτησης σ’ ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων:

m = Plot[g[x], {x, -4, 4}, PlotStyle→ {RGBColor[0, 1, 0], Thickness[0.015]}, AspectRatio->1, PlotRange-> {{-5, 5}, {-11, 15}}]

[Graphics:../HTMLFiles/A Lyceum, Studying functions_191.gif]

-Graphics -

    Διατρέχουμε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ώστε το x να μεγαλώνει και παρατηρούμε αν το y = g(x) μεγαλώνει ή μικραίνει:  

[Graphics:../HTMLFiles/A Lyceum, Studying functions_211.gif]

    Δημιουργούμε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης:  

TableForm[Table[{x, g[x]}, {x, -4, 4, 0.5}], TableHeadings→ {None, {"x", "g(x)"}}, TableAlignments→Center, TableDirections->Row]

x -4 -3.5 -3. -2.5 -2. -1.5 -1. -0.5 0. 0.5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4.
g(x) 14 12.5 11. 9.5 8. 6.5 5. 3.5 2. 0.5 -1. -2.5 -4. -5.5 -7. -8.5 -10.

    Τι συμπεράσματα μπορούμε να βγάλουμε για τη μονοτονία και τα ακρότατα της y = g(x);






Θεωρούμε τη συνάρτηση h (x) = x^2 - 4x + 5 :

h[x_] := x^2 - 4 * x + 5

    Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση σημείων της συνάρτησης σ’ ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων:

n = Plot[h[x], {x, -1, 5}, PlotStyle→ {RGBColor[0, 1, 0], Thickness[0.015]}, AspectRatio->1, PlotRange-> {{-1, 5}, {-1, 6}}]

[Graphics:../HTMLFiles/A Lyceum, Studying functions_216.gif]

-Graphics -

    Διατρέχουμε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ώστε το x να μεγαλώνει και παρατηρούμε αν το y = h(x) μεγαλώνει ή μικραίνει:  

[Graphics:../HTMLFiles/A Lyceum, Studying functions_230.gif]

    Δημιουργούμε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης:  

TableForm[Table[{x, h[x]}, {x, 0, 4, 0.4}], TableHeadings→ {None, {"x", "g(x)"}}, TableAlignments→Center, TableDirections->Row]

x 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2. 2.4 2.8 3.2 3.6 4.
g(x) 5 3.56 2.44 1.64 1.16 1. 1.16 1.64 2.44 3.56 5.

    Τι συμπεράσματα μπορούμε να βγάλουμε για τη μονοτονία και τα ακρότατα της y = h(x);







Θεωρούμε τη συνάρτηση f (x) = x^3 - 2x^2 + 2, με D_f =[-1, 2] :

f[x_] := x^3 - 2 * x^2 + 2

    Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση σημείων της συνάρτησης σ’ ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων:

p = Plot[f[x], {x, -1, 2}, PlotStyle→ {RGBColor[0, 1, 0], Thickness[0.015]}, AspectRatio->1, PlotRange-> {{-2, 3}, {-2, 3}}]

[Graphics:../HTMLFiles/A Lyceum, Studying functions_235.gif]

-Graphics -

    Θεωρούμε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης:  

TableForm[Table[{x, f[x]}, {x, -1, 2, 0.5}], TableHeadings→ {None, {"x", "f(x)"}}, TableAlignments→Center, TableDirections->Row]

x -1 -0.5 0. 0.5 1. 1.5 2.
f(x) -1 1.375 2. 1.625 1. 0.875 2.

    Τι συμπεράσματα μπορούμε να βγάλουμε για τη μονοτονία και τα ακρότατα της y = f(x);





Created by Mathematica  (November 4, 2015) Valid XHTML 1.1!